Problema 13
 
En la Tabla 8.2 se presentan algunos datos para el cómputo de promedios y desviaciones cuando se cambia la escala.
 
Tabla 8.2
Datos para el Cómputo de Cambio de Escala
X
Y
Z
A
B
C
D
E
3 4 2 6 9 1.5 13 5
4 5 3 8 12 2.0 14 6
6 7 5 12 18 3.0 16 8
7 8 6 14 21 3.5 17 9
4 5 3 8 12 2.0 14 6
Solución
Observe la relación entre las variables:
Y = X + 1
Z = X - 1
A = 2X
B = 3X
C = X/2
D = X + 10
E = X + 2.
 
Por lo tanto, lo que hay que hacer es determinar el promedio y la desviación estándar de X. Luego hay que usar lo que sabemos acerca del cambio de escala cuando se le suma o se le multiplica una constante a una variable. De la información provista en la Tabla 8.2 se obtiene que el promedio de X es igual a 4.8 y la desviación estándar de X es 1.64. En la siguiente tabla, se sugiere la respuesta...
Variable
Promedio
Desviación
Y = X + 1 4.8 + 1 1.64
Z = X - 1 4.8 - 1 1.64
A = 2X 2(4.8) 2(1.64)
B = 3X 3(4.8) 3(1.64)
C = X/2 (4.8)/2 (1.64)/2
D = X + 10 4.8 + 10 1.64
E = X + 2 4.8 + 2 1.64
Problema 21
En la Tabla 8.3 , determine el cómputo de zw.
 
Tabla 8.3
Comparación de Distribuciones Similares
X Y W zw zy zw
0 0 3 -1.54 -1.54
1 2 5 -1.18 -1.18
1 2 5 -1.18 -1.18 .
2 4 7 -0.83 -0.83 .
2 4 7 -0.83 -0.83 .
2 4 7 -0.83 -0.83 .
4 8 11 -0.12 -0.12 .
4 8 11 -0.12 -0.12 .
4 8 11 -0.12 -0.12 .
4 8 11 -0.12 -0.12 .
4 8 11 -0.12 -0.12 .
7 14 17 0.94 0.94 .
7 14 17 0.94 0.94 .
7 14 17 0.94 0.94 .
8 16 19 1.29 1.29 .
8 16 19 1.29 1.29 .
9 18 21 1.64 1.64 .
Paso 1: Para computar zw, hay que determinar el promedio y la desviación estándar de la variable W. El promedio de W es igual a 11.705, y la desviación estándar es igual a 5.65.
Paso II: Computar la puntuación estándar de cada valor de W. Se utiliza la siguiente ecuación:
zw = (W - 11.705) / 5.65. Observe que no se redondeó.
 
Para W = 3,
z(3) = (3 - 11.705) / 5.65 = -8.705 / 5.65 = -1.5407
Para W = 5,
z(5) = (5 - 11.705) / 5.65 = -6.705 / 5.65 = -1.1867
Para W = 7,
z(7) = (7 - 11.705) / 5.65 = -4.705 / 5.65 = -0.8327
Para W = 11,
z(11) = (11 - 11.705) / 5.65 = -.705 / 5.65 = -0.1247
Para W = 17,
z(17) = (17 - 11.705) / 5.65 = 5.295 / 5.65 = 0.9371
Para W = 19,
z(19) = (19 - 11.705) / 5.65 = 7.295 / 5.65 = 1.2911
Para W = 21,
z(21) = (21 - 11.705) / 5.65 = 9.295 / 5.65 = 1.6456
 
Ahora ponemos los valores de z para cada uno de los valores de W. Observe que excepto por errores de redondeo, zw es igual a zx y a zy. Finalmente, de la siguiente tabla se puede computar el promedio y la desviación de zw. ¿A qué cree usted que le dará? ¿A qué debe ser igual el promedio de zw? ¿Cuál debe ser el valor de la desviación de zw? Al pie de la tabla se muestra el cómputo de los estadígrafos mencionados.
W zw
3 -1.5407
5 -1.1867
5 -1.1867
7 -0.8327
7 -0.8327
7 -0.8327
11 -0.1247
11 -0.1247
11 -0.1247
11 -0.1247
11 -0.1247
17 0.9371
17 0.9371
17 0.9371
19 1.2911
19 1.2911
21 1.6456
Szw = .0004, Sz/17 = .00002
Sz2 = 16.0295
NSC(z) = 17(16.0295) - (.0004)2 = 272.5015 - .0000 = 272.5015
S = 1.0036
 
Por supuesto, sabemos que hemos pasado trabajo de más, porque el promedio de z igual a 0, y la desviación de z es igual a 1, siempre. Este es un buen problema para el examen.
 
Problema 33
Utilice la siguiente tabla para estimar los puntos percentiles que corresponden a C15, C20, C35, C47, C59, C86. Antes de hacer los ejercicios, observe cuidadosamente cómo están ordenados los puntajes.
Variable f fr Variable f fr
1 3 . 9 20 .
2 5 . 10 17 .
3 8 . 11 14 .
4 12 . 12 12 .
5 14 . 13 8 .
6 17 . 14 5 .
7 20 . 15 3 .
8 21 . . . .
Solución
Paso I: Determinar la frecuencia relativa acumulada porcentual, fra%, lo que igual a far%.
Variable f fa far% Variable f fa far%
1 3 3 1.67 9 20 120 67.04
2 5 8 4.47 10 17 137 76.54
3 8 16 8.64 11 14 151 84.34
4 12 28 15.54 12 12 163 91.06
5 14 42 23.46 13 8 171 95.53
6 17 59 32.96 14 5 176 98.32
7 20 79 44.13 15 3 179 100.00
8 21 100 55.86 . . . .
Paso II: Leer de la tabla los puntos percentiles correspondientes:
C15 = 4, C20 = 5, C35 = 7, C47 = 8, C59 = 9, C86 = 12.
 
Paso III: Interpretación: C20 = 5 quiere decir:
1. La percentila 20 corresponde al punto percentil 5.
2. El 20% de los casos está por debajo de la puntuación 5.
 
Problema 34
Utilice la siguiente tabla para estimar C15, C20, C35, C47, C59, C86. Además, estime P10-19, P20-29, P30-39, P50-59, P80-89, P90-99.
Intérvalo f
0-9 19
10-19 17
20-29 0
30-39 0
40-49 22
50-59 33
60-69 38
70-79 2
80-89 16
90-99 24
Total 171
Solución
1.Determine la frecuencia acumulada.
2. Determine la frecuencia acumulada porcentual.
3. De la tabla resultante, lea C15 = 10-19, C20 = 10-19, C35 = 50-59, C47 = 50-59, C59 = 60-69, C86 = 90-99.
4. Además, P10-19 = 21, P20-29 = 21, P30-39 = 21, P50-59 = 53, P80-89 = 86, P90-99 = 100.
Intérvalo f fa fa%
0-9 19 19 11.11
10-19 17 36 21.05
20-29 0 36 21.05
30-39 0 36 21.05
40-49 22 58 33.92
50-59 33 91 53.22
60-69 38 129 75.44
70-79 2 131 76.61
80-89 16 147 85.96
90-99 24 171 100.00
Total 171 . .
Problema 36
Utilice la siguiente tabla para estimar C15, C20, C35, C47, C59, C86.
Además, estime P12-16, P22-26, P37-41, P52-56, P62-66.
 
Distribución de Frecuencias de Edades
Edad f fa
12-16 34 .22
17-21 4 .03
22-26 4 .03
27-31 2 .01
32-36 20 .13
37-41 2 .01
42-46 14 .09
47-51 24 .16
52-56 22 .14
57-61 1 .01
62-66 25 .16
Total 152 1.00
Solución
De la siguente tabla se pueden leer las respuestas.
 
Distribución de Frecuencias de Edades
Edad f fa fra%
12-16 34 .22 22
17-21 4 .03 25
22-26 4 .03 28
27-31 2 .01 29
32-36 20 .13 42
37-41 2 .01 43
42-46 14 .09 52
47-51 24 .16 68
52-56 22 .14 82
57-61 1 .01 83
62-66 25 .16 99
Total 152 1.00 .
 
Problema 37
Determine los valores de z para cada variable.
 
A B D X Y
2 3 4 0 9
8 7 5 9 8
0 2 1 7 1
5 0 6 1 5
0 9 8 1 5
0 8 9 6 1
. 5 0 6 1
. 5 0 6 1
. 2 3 5 0
. 6 1 2 0
. 6 2 1 .
. 5 0 6 .
Solución
Paso I: Determinar el promedio y la desviación de cada variable.
. A B D X Y
SX 15 58 39 50 31
SX2 93 358 237 306 199
N 6 12 12 12 10
S 3.33 2.66 3.17 2.98 3.38
Pro 2.5 4.83 3.25 4.17 3.10
Paso II: Determinar la puntuación estándar para cada valor de cada variable. A continuación, se presentan los valores estándar de las variables A, B, D y X.
. zA zB zD zX
. -.15 -.69 .24 -1.40
. 1.65 .82 .55 1.62
. -.75 -1.06 -.71 .95
. .75 -1.82 .87 -1.06
. -.75 1.57 1.50 -1.06
. -.75 1.19 1.81 .61
. . .06 -1.03 .61
. . .06 -1.03 .61
. . -1.06 -.08 .28
. . .44 -.71 -.73
. . .44 -.39 -1.06
. . .06 -1.03 .61
Problema 38
Si el promedio de X es 4.2, y su desviación es 1.53, determine el promedio de Y y su desviación si:
a) Y = X-12
b) Y = 10 X
c) Y = X/5
d) Y = (X-50)/8
Solución
Las respuestas se sugieren...
 
  		Promedio Desviación
a) Y = X-12 4.2 - 12 1.53
b) Y = 10 X 10(4.2) 10(1.53)
c) Y = X/5 (4.2)/5 (1.53)/5
d) Y = (X-50)/8 (4.2 - 50)/8 (1.53)/8
Problema 39
Determine la proporción de los casos de la curva normal que se encuentran entre los límites de z señalados.
a) entre -1 y 1
b) entre 0 y 1.5
c) para z > 1
d) entre -.65 y .87
e) para z < 1
f) para z > -.50
g) entre -.56 y 1.56
h) entre -1.65 y 1.65
 
Solución
No olvide que:
La curva normal es simétrica.
El 50% del área o la mitad está sobre el promedio.
Problema
a) entre -1 y 1: .34 + .34
b) entre 0 y 1.5: .43
c) para z > 1: .50 - .34
d) entre -.65 y .87: .24 + .31
e) para z < 1: .50+.34
f) para z > -.50: .50 + .19
g) entre -.56 y 1.56: .21 + .44
h) entre -1.65 y 1.65: .90