LECCION

Max	min	#intervalos	Alcanze	A/N	t
234	12	20	223	11.15	11
130	40	15	91	6.06	6
90	9	10	82	8.20	8
493	290	18	204	11.33	11
145	56	15	90	6.00	6
195	40	20	156	7.80	8

Problema 13
Observe las frecuencias.
Tabla del Problema 13.

X	f	fr	fa	fra
56-60	4	.0208	4	.0208
61-65	6	.0312	10	.0520
66-70	9	.0468	19	.0988
71-75	11	.0572	30	.1560
76-80	15	.0781	45	.2341
81-85	19	.0989	64	.3333
86-90	21	.1093	85	.4423
91-95	22	.1145	107	.5568
96-100	21	.1093	128	.6661
101-105	19	.0989	147	.7650
106-110	15	.0781	162	.8431
111-115	11	.0572	173	.9003
116-120	9	.0468	182	.9471
121-125	6	.0312	188	.9783
126-130	4	.0208	192	.9991
Total	192	.9991

Problema 14
Hacer f, fa, fr, fra. Datos (Use N = 5)

54, 63, 91, 87, 26, 13, 29, 50, 42, 31, 81, 67, 47, 49, 41, 31,
70, 42, 31, 18, 60, 75, 86, 90, 68, 22, 27, 69, 51, 44, 34, 72,
57, 59, 13, 63, 95, 73, 56, 25, 43, 93, 67, 41, 42, 93, 57, 71,
11, 40.

Solución
Paso I: Ordenar los datos; hay 50 datos

11, 13, 13, 18, 22, 25, 26, 27, 29, 31, 31, 31, 34, 40, 41, 41,
42, 42, 42, 43, 44, 47, 49, 50, 51, 54, 56, 57, 57, 59, 60, 63,
63, 67, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 75, 81, 86, 87, 90, 91, 93,
93, 95.

Es evidente que el Máximo es igual al 95 y el Mínimo es igual a 11. Por lo tanto el alcance es: A = Max - min + 1 = 95 - 11 + 1 = 85. El problema indica que hay que usar cinco intervalos, i.e., N = 5. Por lo tanto, el tamaño t de los intervalos será t = A/N = 85/5 = 17.

Paso II: Determinar el primer intervalo: Se toma el mínimo y se le suma t - 1: 11 + 16 = 27. Por lo tanto, el primer intervalo será de 11 a 27. Con esta información escribimos los intervalos restantes.

Paso III: Construir los intervalos de la distribución de frecuencias y determinar las frecuencias.
Tabla del Problema 14.

Intervalo	f	fa	fr	fra
11-27	8	8	.16	.16
28-44	13	21	.26	.42
45-61	10	31	.20	.62
62-78	11	42	.22	.84
79-95	8	50	.16	1.00
Suma	50		1.00

Problema 15
Hacer f, fa, fr, fra, alcance. Datos (Use N = 10)
130, 117, 98, 90, 78, 70, 56,
129, 116, 98, 87, 78, 69, 56,
129, 114, 98, 86, 78, 69, 56,
125, 114, 98, 85, 76, 69, 54,
125, 110, 98, 85, 76, 67, 54,
125, 109, 96, 84, 76, 67, 53,
125, 109, 96, 83, 72, 64, 53,
120, 109, 93, 83, 72, 64, 52,
120, 107, 92, 83, 72, 62, 52,
118, 100, 91, 83, 71, 62, 50,

Solución
Note que los números están en orden; hay 70 datos. Primero se determina el alcance:
A = 130 - 50 + 1 = 81.

Segundo se determina el tamaño del intervalo:
t = 81/10 = 8.1; por lo tanto se usa t = 8.

Tercero, el primer intervalo es de 50 a 57.

Tabla del Problema 15

Intervalo	f	fa	fr	fra
50-57	10	10	.1428	.1428
58-65	4	14	.0571	.1999
66-73	10	24	.1428	.3427
74-81	6	30	.0857	.4284
82-89	9	39	.1285	.5569
90-97	6	45	.0857	.6426
98-105	6	51	.0857	.7283
106-113	5	56	.0714	.7997
114-121	7	63	.1000	.8997
122-129	6	69	.0857	.9854
130-137	1	70	.0142	.9996
Suma	70		.9996

Problema 16
Complete la siguiente distribución de frecuencias.

Intervalo

f

fr

fa

fra

30-34

4

35-39

6

40-44

7

45-49

8

50-54

11

55-59

12

60-64

10

65-69

17

70-74

23

75-79

20

80-84

13

85-89

9

90-94

7

95-99

3

Problema 17
Hacer f, fa, fr, fra, alcance. Datos (Use t = 1)
5, 3, 2, 2, 4, 3, 2, 2
4, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1
4, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1
3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 0

Solución Este es un problema curioso. Observe que el tamaño del intervalo es igual a 1. Cuando vaya escribir el primer intervalo, sabe que va desde 0 hasta 0! El próximo intervalo va desde 1 hasta 1! ?No le recuerda esto algo que aprendió en la lección anterior?

Paso I: Se ordenan los datos; hay 32 datos.
0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5

Paso II: Construya las distribución de frecuencias. Observe las frecuencias.

Tabla del Problema 17

Intervalo	f	fa	fr	fra
0	1	1	.0312	.0312
1	5	6	.1562	.1874
2	10	16	.3125	.4999
3	10	26	.3125	.8124
4	5	31	.1562	.9686
5	1	32	.0312	.9998
Suma	32		.9998

Problema 18
Hacer f, fa, fr, fra. Datos (Use t = 3)

40, 41, 34, 30, 46, 36, 32, 52, 37, 42, 41, 37, 31, 38, 38, 34,
43, 35, 36, 37, 38, 36, 35, 40, 30, 36, 38, 33, 41, 44, 43, 34,
41, 36, 29, 44, 35, 38, 39, 35, 38, 45, 32, 38, 42, 36, 31, 44,
39, 42, 34, 39, 32, 41, 41, 37, 46, 35, 38, 45.

Paso I: Ordenar los datos; hay 60 datos.
29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 35, 35, 35,
35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 38,
38, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 42,
42, 42, 43, 43, 44, 44, 44, 45, 45 46, 46, 52.
Se observa que el alcance es igual a 24 (52 - 29 + 1).

Paso II: Determinar el primer intervalo; el problema dice que el tamaño debe ser igual a 3. El primer intervalo debe ser de 29 a 31. Con esa información se construye la distribución de frecuencias.

Tabla del Problema 18

Intervalo	f	fa	fr	fra
29-31	5	5	.0833	.0833
32-34	8	13	.1333	.2166
35-37	15	28	.2500	.4666
38-40	13	41	.2166	.6832
41-43	11	52	.1833	.8665
44-46	7	59	.1166	.9831
47-49	0	59	.0000	.9831
50-52	1	60	.0166	.9997
Suma	60		.9997

Problema 19
Se quiere determinar si una película es vista por personas de todas las edades. Se escogió una muestra de personas que asistieron a la tanda de las 4:00. Construya la distribución de frecuencias de las edades. Use N = 10.
89, 76, 89, 46, 98, 74, 64, 58, 76, 34, 28, 97, 23, 68, 97, 12,
36, 87, 12, 34, 65, 87, 16, 54, 87, 64, 18, 76, 15, 48, 76, 15,
87, 33, 46, 28, 78, 75, 16, 89, 71, 24, 64, 75, 64, 87, 52, 48,
97, 54, 85, 60, 45, 67, 89, 20, 95, 68, 71, 76, 15, 48, 76, 15,
87, 33, 46, 28.

Solución: Hay 68 datos.
Paso I: Ordenar los datos. Se observa que el alcance es 98 - 12 + 1, es decir, A = 87.
12, 12, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 20, 23, 24, 28, 28, 28, 33,
33, 34, 34, 36, 45, 46, 46, 46, 48, 48, 48, 52, 54, 54, 58,
60, 64, 64, 64, 64, 65, 67, 68, 68, 71, 71, 74, 75, 75, 76, 76,
76, 76, 76, 76, 78, 85, 87, 87, 87, 87, 87, 87, 89, 89, 89, 89,
95, 97, 97, 97, 98

Paso II: Determinar el primer intervalo. El tamaño del intervalo es 87/10 = 8.7. Se usará t = 9. El primer intervalo será de 12 hasta 20. Se recuerda que los intervalos representan edades. El problema no pide f, fr, fa ni fra. Sin embargo, algunas de estas frecuencias pueden ser necesarias para determinar si una película es vista por personas de todas las edades.

Tabla del Problema 19

Edad	f	fa	fr%
12-19	9	9	13.23
20-27	3	12	4.41
28-35	7	19	10.29
36-43	1	20	1.47
44-51	7	27	10.29
52-59	4	31	5.88
60-67	7	38	10.29
68-75	7	45	10.29
76-83	7	52	10.29
84-91	11	63	16.18
92-99	5	68	7.35
Suma	68		99.97%

Paso III: Contestando la pregunta. A partir de todo el análisis llevado a cabo se puede concluir que:
a) las edades fluctuaron entre los 12 y los 98 años.
b) las frecuencias variaron entre 1 y 11 (intervalos 36-43 y 84-91.
c) en la tabla se observa que la concentración mayor de edades está a partir del intervalo 60-67. Es decir, si se suman las fr% a partir del intervalo mencionado, se obtiene que el 54.40% de la muestra visitó el cine a las 4:00 pm.
Conclusión: La película es preferida por personas envejecientes.

Problema 20
Los siguientes datos representan las edades de los residentes en un área de la capital. Clasifique las edades en adolescentes, adultos y viejos. Indique si algún grupo es predominante y su por ciento.

12, 35, 41, 34, 51, 45, 23, 62, 34, 56, 23, 80, 34, 11, 32, 13,
54, 13, 51, 13, 45, 14, 51, 45, 14, 51, 43, 51, 34, 25, 13, 13,
41, 34, 13, 41, 34, 54, 36, 56, 24, 72, 45, 62, 14, 56, 52, 47,
25, 14, 51, 45, 14, 51, 45, 15, 61, 45, 15, 41, 62, 62, 72, 74,
14, 72, 47, 36, 57, 24, 57, 34, 73, 68, 73, 68, 35, 62, 65, 24,
62, 62, 45, 64, 73, 48, 37, 24, 56, 26, 52, 46, 23, 45, 26, 26,
27, 65, 47, 35, 73, 57, 36, 26, 26, 52, 65, 74, 25, 74, 58, 24,
62, 56, 26, 26, 52, 27, 11.

Solución
Observe que por la naturaleza del problema se requiere tres intervalos. Hay que definir las edades que los comprenden. Aquí hay que usar conocimiento ajeno a la estadística, a saber, que la adolescencia se definirá entre los 11 y 20 años. La adultez se definirá entre los 21 y los 65 años. La vejez se definirá a partir de los 65 años. Es importante notar que las definiciones dadas son arbitrarias. Sin embargo, la mayor parte de los problemas reales requieren que el estadístico haga uso de su criterio antes de hacer cualquier análisis. Como hay un grado de arbitrariedad, diferentes analistas pueden terminar con resultados distintos. Lo importante es que la tabla que se produzca contenga las definiciones usadas y que todas las tablas que se hagan contengan el mismo número de datos. Hay 119 datos.

Paso I: Clasificar las edades según la definiciones propuestas. Observe que para hacer el problema no hay que poner las edades en orden. Lo único que se necesita es conocer los límites de las categorías o intervalos.
Adolescentes: 12, 11, 13, 13, 13, 14, 14, 13, 13, 13, 14, 14, 15, 14, 15, 14, 11
Adultos: 35, 41, 34, 51, 45, 23, 62, 34, 56, 23, 34, 32, 54, 51,
45, 51, 45, 51, 43, 51, 34, 25, 41, 34, 41, 34, 54, 36, 56, 24,
45, 62, 56, 52, 47, 25, 51, 45, 51, 45, 61, 45, 41, 62, 62, 72,
74, 47, 36, 57, 24, 57, 34, 35, 24, 62, 62, 62, 45, 64, 48, 37,
24, 56, 26, 52, 46, 23, 45, 26, 26, 27, 47, 35, 57, 36, 26, 26,
52, 25, 58, 24, 62, 56, 26, 26, 52, 27,
Viejos: 80, 72, 72, 73, 68, 73, 68, 65, 73, 65, 73, 65, 74, 74,

Paso II: Hacer la tabla. Observe cómo difiere de las tablas que ha hecho anteriormente.

Tabla del Problema 20

Categoría de Edad	frecuencia	Por Cientos
Adolescentes (11-20)	17	14.29
Adultos (21-64)	88	73.95
Viejos (65 ó más)	14	11.76
Totales	119	100.00

Problema 21
Utilizando la información que se le provee, escriba los intérvalos corespondientes.

Maximo	mínimo	Núm de Intérvalos
85	12	8
120	20	10
90	5	6
307	35	7
1765	453	5

Solución
Tabla del Problema 21

Máx	min	Intérvalos	A	A/N	t
85	12	8	74	9.25	9
120	20	10	101	10.10	10
90	5	6	86	14.33	14
307	35	7	273	39.00	39
1765	453	5	1313	262.60	263

Problema 22
Se tiró un dado 150 veces. Los resultados fueron los siguentes:

1, 5, 6, 1, 4, 5, 6, 4, 3, 6, 3, 4, 5, 1, 4, 6, 1, 4, 5, 6, 1, 5,
1, 5, 1, 1, 3, 5, 4, 3, 5, 6, 1, 5, 6, 6, 4, 3, 5, 4, 6, 4, 3, 5,
1, 4, 6, 1, 3, 5, 4, 3, 6, 3, 4, 1, 6, 3, 4, 6, 1, 6, 1, 3, 5, 6,
1, 3, 4, 5, 1, 5, 1, 6, 1, 5, 4, 6, 1, 5, 1, 4, 6, 1, 3, 5, 4, 3,
6, 1, 3, 6, 1, 6, 1, 4, 3, 5, 1, 3, 4, 1, 3, 4, 6, 1, 3, 5, 1, 3,
5, 1, 3, 6, 1, 3, 6, 1, 5, 1, 5, 3, 4, 6, 4, 5, 1, 4, 5, 1, 3, 4,
5, 1, 5, 3, 6, 1, 6, 1, 4, 3, 5, 1, 3, 4, 1, 3, 4, 6.
Determine si el dado está cargado; es decir, si un número sale mucho más que los demás.

Solución
Tabla del Problema 22

Lado	f	fa	fr
1	39	39	.2600
2	0	39	.0000
3	28	67	.1866
4	27	94	.1800
5	28	122	.1866
6	28	150	.1866
Suma	150		.9998

Este es un problema algo distinto. Se le pide que determine si el dado está cargado. Aunque todavía es muy temprano en el curso para introducir el concepo de probabilidades, el estudiante tiene la noción básica de que si un dado tiene 6 lados, entonces la probabilidad de salga cada lado es 1/6 ó lo que es igual .1666. Eso es lo mismo que decir que la frecuencia relativa fr de cada lado debe ser o estar muy cerca de .1666. De la tabla se observan varias cosas. En primer lugar, la frecuencia relativa de 2 es igual a cero, es decir, fr(2) = 0. En segundo lugar, fr(1) = .26, lo que es mucho más que el valor esperado de .1666. Las otras frecuencias relativas son mayores que .1666, pero no por mucho. En vista del análisis que se hace de los datos a partir de la distribución de frecuencias, es razonable concluir que el dado está cargado.

Quiz 1

Quiz 2

Problemas