Solución a los Problemas
 
Problema 16.
De la Tabla 12.2, determine el promedio y el error estándar de la distribución del muestreo del promedio. Solución: La Tabla que se presenta a continuación contiene las soluciones.
 
Tabla 12.2
Universo
 
 
Distribución del muestreo
 
 
 
 
µ
s
N
Prom
Error Estandar
46
6
25
46
6/V25 = 1.20
35
3
16
35
3/V16 = .75
85
7
9
85
7/V9 = 2.33
89
3
100
89
3/V100 = .30
23
9
36
23
9/V36 = 1.50
95
2
64
95
2/V64 = .25
65
5
81
65
5/V81 = .555
Problema 20.
De la Tabla 12.3, determine los intérvalos de confianza al 90% y al 95%.
 
Solución: En la siguiente tabla se presenta el cómputo del error estándar del promedio.
Tabla 12.3
Datos
Muestra
 
 
Universo
 
 
Promedio
N
s
Error Estándar
26
10
3
3/V10 = .95
85
46
7
7/V46 = 1.03
74
64
9
9/V64 = 1.125
17
81
8
8/V81 = .89
73
73
6
6/V73 = .70
45
30
5
5/V30 = .91
66
16
2
2/V16 = .50
Ahora computamos los intervalos de confianza al 90%.
26 - 1.65(.95) <µ < 26 + 1.65(.95)="24.43" < µ < 27.57="26" ± 1.57

85 - 1.65(1.03) <µ < 85 + 1.65(1.03)="83.3" < µ < 86.7="85" ± 1.70

74 - 1.65(1.125) <µ < 74 + 1.65(1.125)="72.14" < µ < 75.86="74" ± 1.86

17 - 1.65(.89) <µ < 17 + 1.65(.89)="15.53" < µ < 18.47="17" ± 1.47

73 - 1.65(.70) <µ < 73 + 1.65(.70)="71.845" < µ < 74.155="73" ± 1.155

45 - 1.65(.91) <µ < 45 + 1.65(.91)="43.5" < µ < 46.5="45" ± 1.50

66 - 1.65(.50) <µ < 66 + 1.65(.50)="65.175" < µ <66.825="66" ± .825

 
La Tabla 12.3.1 presenta los intervalos de confianza al 90%. También, la tabla presenta los límites de los intévalos así como la forma abreviada. El estudiante reconocerá estas formas de expresar los intervalos de confianza, ya que así fue como los aprendió en una lección anterior.
 
Tabla 12.3.1
Continuación de la Tabla 12.3
IC 90%
Límites
Forma IC = (_ ± sz)
24.43 <µ < 27.57
24.43, 27.57
26 ± 1.57
83.3 <µ < 86.7
83.3, 86.7
85 ± 1.70
72.14 <µ < 75.86
72.14, 75.86
74 ± 1.86
15.53 <µ < 18.47
15.53, 18.47
17 ± 1.47
71.845 <µ < 74.155
71.845, 74.155
73 ± 1.155
43.5 <µ < 46.5
43.5, 46.5
45 ± 1.50
65.175 <µ < 66.825
65.175, 66.825
66 ± .825
Finalmente, computamos el intervalo de confianza al 95%.
26 - 1.96(.95) <µ < 26 + 1.96(.95)="24.14" < µ < 27.86="26" ± 1.86

85 - 1.96(1.03) <µ < 85 + 1.96(1.03)="82.98" < µ < 87.02="85" ± 2.02

74 - 1.96(1.125) <µ < 74 + 1.96(1.125)="71.795" < µ < 76.205="74" ± 2.205

17 - 1.96(.89) <µ < 17 + 1.96(.89)="15.26" < µ < 18.74="17" ± 1.74

73 - 1.96(.70) <µ < 73 + 1.96(.70)="71.63" < µ < 74.37="73" ± 1.37

45 - 1.96(.91) <µ < 45 + 1.96(.91)="43.22" < µ < 46.78="45" ± 1.78

66 - 1.96(.50) <µ < 66 + 1.96(.50)="65.02" < µ < 66.98="66" ± .98

 
La Tabla 12.3.2 presenta los intervalos de confianza al 95%. También la tabla presenta los límites de los intévalos así como la forma abreviada. El estudiante reconocerá estas formas de expresar los intervalos de confianza, ya que así fue como los aprendió en una lección anterior.
 
Tabla 12.3.2
Continuación de la Tabla 12.3.1
IC 95%
Límites
Forma IC = (_ ± sz)
24.14 <µ < 27.86
24.14, 27.86
26 ± 1.86
82.98 <µ < 87.02
82.98, 87.02
85 ± 2.02
71.795 <µ < 76.205
71.795, 76.205
74 ± 2.205
15.26 <µ < 18.74
15.26, 18.74
17 ± 1.74
71.63 <µ < 74.37
71.63, 74.37
73 ± 1.37
43.22 <µ < 46.78
43.22, 46.78
45 ± 1.78
65.02 <µ < 66.98
65.02, 66.98
66 ± .98
Problema 29.
Determine los valores de t según la Tabla 12.4
 
Solución: La Tabla 12.4 se presenta al final de este problema, así el estudiante puede corroborar las respuestas. Recuerde que cuando el valor requerido no se encuentra en la Tabla 12.4, se usa el valor más cercano menor.
N
gl
t(gl, .05)
34
33
t(30, .05) = 1.70
28
27
t(25, .05) = 1.71
9
8
t( 8, .05) = 1.86
62
61
t(60, .05) = 1.67
7
6
t(6, .05) = 1.94
25
24
t(20, .05) = 1.72
21
20
t(20, .05) = 1.72
6
5
t(5, .05) = 2.01
Tabla 12.4
Valores Aproximados de t de una Cola, con a = .05, ó de dos Colas con a = .10
gl
t
gl
t
gl
t
gl
t
1
6.31
6
1.94
11
1.80
20
1.72
2
2.92
7
1.89
12
1.78
25
1.71
3
2.53
8
1.86
13
1.77
30
1.70
4
2.13
9
1.83
14
1.76
40
1.68
5
2.01
10
1.82
15
1.75
60
1.67
Problema 30.
De la Tabla 12.5, determine los intérvalos de confianza. Solución: En la Tabla 12.5 se presentan los datos así como el error estándar y la t crítica, t(gl, .05). Observe que este problema es muy similar al problema 20. La diferencia fundamental es que el valor crítico para el intervalo de confianza al 90% no es 1.65. Los valores críticos a usar dependen de los grados de libertad y de la t. Ello se debe a que no se tiene s, ni el tamańo de la muestra es mayor que 120. Por lo tanto, los valores críticos se obtienen de la Tabla 12.4. Note que se ha saltado el paso de computar los grados de libertad, así como el paso de determinar si el valor requerido se encuentra en la Tabla 12.4. De no encontrarse el valor requerido, se utilizó el valor más cercano menor. Los valores críticos se presentan en la Tabla 12.5.1
Tabla 12.5.1
Error Estándar y Valores Críticos
Muestra
 
 
 
 
 
 
 
 
_
N
S
S_
tc
26
10
3
3/Ö10 = .95
t(9, .05) = 1.83
85
46
7
7/Ö46 = 1.03
t(40, .05) = 1.68
74
64
9
9/Ö64 = 1.125
t(60, .05) = 1.67
17
81
8
8/Ö81 = .89
t(60, .05) = 1.67
73
73
6
6/Ö73 = .70
t(60, .05) = 1.67
45
30
5
5/Ö30 = .91
t(25, .05) = 1.71
66
16
2
2/Ö16 = .50
t(15, .05) = 1.75
Ahora determinamos los intervalos de confianza al 90%.
26 - 1.83(.95) <µ < 26 + 1.83(.95)="24.26" < µ < 27.74="26" ± 1.74

85 - 1.68(1.03) <µ < 85 + 1.68(1.03)="83.27" < µ < 86.73="85" ± 1.73

74 - 1.67(1.125) <µ < 74 + 1.67(1.125)="72.12" < µ < 75.88="74" ± 1.88

17 - 1.67(.89) <µ < 17 + 1.67(.89)="15.51" < µ < 18.49="17" ± 1.49

73 - 1.67(.70) <µ < 73 + 1.67(.70)="71.83" < µ < 74.17="73" ± 1.17

45 - 1.71(.91) <µ < 45 + 1.71(.91)="43.44" < µ < 46.56="45" ± 1.56

66 - 1.75(.50) <µ < 66 + 1.75(.50)="65.125" < µ < 66.875="66" ± .875

Finalmente, en la Tabla 12.5.2 se presentan los intervalos de confianza al 90%.
Tabla 12.5.2
Intervalos de Confianza
IC 90%
Límites
Forma IC = (_ ± sz)
24.26 <µ < 27.74
24.26, 27.74
26 ± 1.74
83.27 <µ < 86.738
3.27, 86.73
85 ± 1.73
72.12 <µ < 75.88
72.12, 75.88
74 ± 1.88
15.51 <µ < 18.49
15.51, 18.49
17 ± 1.49
71.83 <µ < 74.17
71.83, 74.17
73 ± 1.17
43.44 <µ < 46.5
6 43.44, 46.56
45 ± 1.56
65.125 <µ < 66.875
65.125, 66.875
66 ± .875
Problema 31.
Determine si se rechaza o no la hipótesis nula según los datos de la Tabla 12.6.
Tabla 12.6
Datos
Muestra
 
 
Universo
 
 
z
Decisión
_
N
s
µ
 
 
 
 
26
10
3
25
1.05
No se rechaza
85
46
7
95
 
 
 
 
74
64
9
60
 
 
 
 
17
81
8
20
 
 
 
 
73
73
6
80
 
 
 
 
45
30
5
50
 
 
 
 
66
16
2
60
 
 
 
 
Solución: La Tabla 12.6.1 presenta el cómputo de la z para cada caso. Recuerde que se usa z porque se tiene s.
Tabla 12.6.1
Soluciones
Muestra
 
 
Universo
 
 
zo
_
N
s
µ
 
 
26
10
3
25
z = (26 - 25)/(3/Ö10) = 1/.948 = 1.05
85
46
7
95
z = (85 - 95)/(7/Ö46) = -10/1.032 = -9.69
74
64
9
60
z = (74 - 60)/(9/Ö64) = 14/.875 = 16
17
81
8
20
z = (17 - 20)/(8/Ö81) = -3/.89 = -3.37
73
73
6
80
z = (73 - 80)/(6/Ö73) = -7/.70 = -10
45
30
5
50
z = (45 - 50)/(5/Ö30) = -5/.91 = -5.49
66
16
2
60
z= (66 - 60)/(2/Ö16) = 6/.50 = 12
En la Tabla 12.6.2 se presentan los valores obtenidos, zo y el valor crítico zc = ± 1.65. Recuerde que para hacer la decisión se utiliza el valor absoluto, ¦zo¦. Por lo tanto, los valores de zo que se presentan en la Tabla 12.6.2 son positivos. El uso de los valores absolutos se debe a que en este curso solamente estamos haciendo pruebas de una cola, porque en la estadística aplicada generalmente se tiene una idea de lo que se espera encontrar. Recuerde que cuando decida "No Rechazo Ho: µ = 25", usted debe leer "No rechazo que el promedio en el universo es igual a 25." Si decide que "Rechazo Ho: µ = 95", entonces debe leer "Rechazo que el promedio del universo es igual a 95".
Tabla 12.6.2
Soluciones: Continuación
Muestra
 
 
Universo
 
 
zc
zo
Decisión
_
N
s
µ
 
 
 
 
 
 
26
10
3
25
z = 1.05
1.65
No Rechazo Ho: µ = 25
85
46
7
95
z = 9.69
1.65
Rechazo Ho: µ = 95
74
64
9
60
z = 16
1.65
Rechazo Ho: µ = 60
17
81
8
20
z = 3.37
1.65
Rechazo Ho: µ = 20
73
73
6
80
z = 10
1.65
Rechazo Ho: µ = 80
45
30
5
50
z = 5.49
1.65
Rechazo Ho: µ = 50
66
16
2
60
z = 12
1.65
Rechazo Ho: µ = 60
Problema 34.
Utilizando los datos de la siguiente tabla, decida acerca de la hipótesis nula.
Tabla Problema 34: Soluciones
to
t crítica
Decisión
1.64
2.54
No Rechazo la hipótesis nula (Ho)
1.47
1.52
No Rechazo la hipótesis nula (Ho)
1.68
3.76
No Rechazo la hipótesis nula (Ho)
2.84
1.51
Rechazo la hipótesis nula (Ho)
2.78
6.31
No Rechazo la hipótesis nula (Ho)
3.27
5.12
No Rechazo la hipótesis nula (Ho)
3.46
1.65
Rechazo la hipótesis nula (Ho)
3.44
2.45
Rechazo la hipótesis nula (Ho)
Problema 37.
Complete la Tabla 12.7.
Tabla 12.7
Datos
_
N
S
µ
to
t crítica
Decisión
26
10
3
25
1.05
1.83
No se Rechaza
85
46
7
95
 
 
 
 
 
 
74
64
9
60
 
 
 
 
 
 
17
81
8
20
 
 
 
 
 
 
73
73
6
80
 
 
 
 
 
 
45
30
5
50
 
 
 
 
 
 
66
16
2
60
 
 
 
 
 
 
Solución: En primer lugar, recuerde que tiene que determinar los grados de libertad, gl = N - 1 para cada caso. Luego se busca en la Tabla 12.4 los valores críticos de t. La solución a este problema está en los problemas anteriores y por lo tanto se ofrecem soluciones parciales. No debe olvidar que cuando decida "No Rechazo Ho: µ = 25", usted debe leer "No rechazo que el promedio en el universo es igual a 25." Si decide que "Rechazo Ho: µ = 95", entonces debe leer "Rechazo que el promedio del universo es igual a 95".
_
N
S
µ
¦to¦
t crítica
Decisión
26
10
3
25
t = 1.05
1.83
No Rechazo Ho: µ = 25
85
46
7
95
t = 9.69
1.68
Rechazo Ho: µ = 95
74
64
9
60
t = 16
1.67
Rechazo Ho: µ = 60
17
81
8
20
t = 3.37
1.67
Rechazo Ho: µ = 20
73
73
6
80
t = 10
1.67
Rechazo Ho: µ = 80
45
30
5
50
t = 5.49
1.71
Rechazo Ho: µ = 50