- Soluciones:
- Problema 11.2.1
- Utilizando la Tabla 11.2,
determine las probabilidades que se
indican.
-
- Tabla 11.2
- Distribución de Estudiantes
|
Concentración
|
|
Total
|
|
Sociología
|
Psicología
|
Varón
|
6
|
3
|
9
|
Hembra
|
9
|
8
|
17
|
Total
|
15
|
11
|
26
|
- Sea S = sociología, P =
psicología, V = varón, H = hembra.
Determine las siguientes probabilidades:
- p(V) p(H) p(S) p(P) p(S y V)
- p(H y S) p(V y P) p(H y P)
- Solución
- Recuerde que p(A) = #A/#T, así
como p(A y B) = #(A y B)/#T. Por lo
tanto:
- p(V) = V/T = 9/26 = .35
- p(H) = H/T = 17/26 = .65
- p(S) = S/T = 15/26 = .58
- p(P) = P/T = 11/26 = .42
- p(S y V) = (S y V)/T = 6/26 = .23
- p(H y S) = (H y S)/T = 9/26 = .35
- p(V y P) = (V y P)/T = 3/26 = .12
- p(H y P) = (H y P)/T = 8/26 = .31
-
- Problema 11.2.2
- Utilizando la Tabla 11.2,
determine las probabilidades
condicionales que se indican.
-
- Tabla 11.2
- Distribución de Estudiantes
|
Concentración
|
|
|
|
Sociología
|
Psicología
|
Total
|
Varón
|
6
|
3
|
9
|
Hembra
|
9
|
8
|
17
|
Total
|
15
|
11
|
26
|
- Sea S = sociología, P =
psicología, V = varón, H = hembra.
Determine las siguientes probabilidades
condicionales.
- p(Soci | H) p(Psic | H)
- p(Soci | V) p(Psic | V)
- p(H | Soci) p(H | Psic)
- p(V | Soci) p(V | Psic)
-
- Solución
- Recuerde que p(A | B) = p(A y
B)/p(B).
- También puede usar p(A | B) =
#(A y B)/ #B.
- p(Soci | H) = (Soci y H)/H = 9/17
= .53
- p(Psic | H) = (Psic y H)/H = 8/17
= .47
- p(Soci | V) = (Soci y V)/V = 6/9
= .67
- p(Psic | V) = (Psic y V)/V = 3/9
= .33
- p(H | Soci) = (H y Soci)/S = 9/15
= .60
- p(H | Psic) = (H y Psic)/P = 8/11
= .73
- p(V | Soci) = (V y Soci)/S = 6/15
= .40
- p(V | Psic) = (V y Psic)/P = 3/11
= .27
-
- Problema 11.2.3
- Utilizando la Tabla 11.2,
determine si las siguientes
probabilidades indican la existencia de
independencia.
- Tabla 11.2
- Distribución de Estudiantes
| |
- Concentración
|
-
|
|
-
|
- Sociología
|
- Psicología
|
- Total
|
- Varón
|
- 6
|
- 3
|
- 9
|
- Hembra
|
- 9
|
- 8
|
- 17
|
- Total
|
- 15
|
- 11
|
- 26
|
- Sea S = sociología, P =
psicología, V = varón, H = hembra.
Determine las siguientes probabilidades:
- Determine si las siguientes
probabilidades indican la existencia de
independencia:
- p(Soci | H) p(Psic | H)
- p(Soci | V) p(Psic | V)
- p(H | Soci) p(H | Psic)
- p(V | Soci) p(V | Psic).
-
- Solución
- Recuerde que para determinar
independencia hay que demostrar que p(A |
B) = p(A). Por lo tanto, hay que
contestar las siguientes preguntas para
cada problema. ¿Es p(Soci | H) igual a
p(Soci)? Veamos: Del ejercicio 11.2.2
sabemos que p(Soci | H) = 9/17 = .53. Y
del ejercicio 11.2.1 sabemos que p(S) =
15/26 = .58 Como esas probabilidades NO
son iguales, se concluye que Soci y
Hembra no son independientes.
- El resto de los resultados se
presentan a continuación:
- p(Soci | H) = .53, pero p(S) =
.58; no son independientes.
- p(Psic | H) = .47, pero p(P) =
.42; no son independientes.
- p(Soci | V) = .67, pero p(S) =
.58; no son independientes.
- p(Psic | V) = .33, pero p(P) =
.42; no son independientes.
- p(H | Soci) = .60, pero p(H) =
.65; no son independientes.
- p(H | Psic) = .73, pero p(H) =
.65; no son independientes.
- p(V | Soci) = .40, pero p(V) =
.35; no son independientes.
- p(V | Psic) = .27, pero p(V) =
.35; no son independientes.
-
- Problema 11.3
- La Tabla 11.3 presenta otra
distribución de un salón de clases.
Determine las siguientes probabilidades.
- p(Soci) = p(Econ) =
- p(1ro) = p(5to) =
- p(Psic y 1ro) = p(Antr y 2do) =
- p(Econ y 4to) = p(Geog y 3ro ) =
-
- Tabla 11.3
- Distribución de Estudiantes
-
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
- Año
|
- Soci
|
- Psic
|
- Econ
|
- Geog
|
- Antro
|
- Total
|
- 1ro
|
- 1
|
- 3
|
- 1
|
- 3
|
- 1
|
- 9
|
- 2do
|
- 3
|
- 2
|
- 3
|
- 4
|
- 2
|
- 14
|
- 3ro
|
- 4
|
- 2
|
- 1
|
- 2
|
- 2
|
- 11
|
- 4to
|
- 2
|
- 2
|
- 4
|
- 3
|
- 2
|
- 13
|
- 5to
|
- 5
|
- 1
|
- 3
|
- 2
|
- 1
|
- 12
|
- Total
|
- 15
|
- 10
|
- 12
|
- 14
|
- 8
|
- 59
|
- Solución
- Se computaron los totales. Con
esa información se procede a determinar
las probabilidades requeridas.
- p(Soci) = 15/59
- p(Econ) =12/59
- p(1ro) = 9/59
- p(5to) = 12/59
- p(Psic y 1ro) = 3/59
- p(Antr y 2do) = 2/59
- p(Econ y 4to) = 4/59
- p(Geog y 3ro ) = 2/59
-
- Problema 36
- Observe la siguiente tabla:
-
- Distribución de Estudiantes
-
|
- Concentración
|
|
-
|
| |
- Ciencias Politicas
|
- Economia
|
- Total
|
- Varón
|
- 9
|
- 8
|
- 17
|
- Hembra
|
- 5
|
- 7
|
- 12
|
- Total
|
- 14
|
- 15
|
- 29
|
- Determine si las variables sexo y
concentración son independientes.
-
- Solución
- Para determinar si las variables
son independientes es necesario demostrar
que p(A | B) es igual a p(A). Es decir,
hay que demostrar que
- p(V | Cs Pol) es igual a p(V)
- p(V | Econ) es igual a p(V)
- p(H | Cs Pol) es igual a p(H)
- p(H | Econ) es igual a p(H)
- Veamos
- p(V | Cs Pol) = 9/14, pero p(V) =
17/29; no iguales y por tanto no son
independientes.
- p(V | Econ) = 8/15, pero p(V) =
17/29; no iguales y por tanto no son
independientes.
- p(H | Cs Pol) = 5/14, pero p(H) =
12/29; no iguales y por tanto no son
independientes.
- p(H | Econ) = 7/15, pero p(H) =
12/29; no iguales y por tanto no son
independientes.
-
- Problema 37
- A partir de la siguiente tabla,
detemine las probabilidades condicionales
que se indican:
-
- Distribución de Estudiantes
-
|
- Concentración
|
-
|
-
|
-
|
- Socíologia
|
- Psicología
|
- Total
|
- Varón
|
- 12
|
- 11
|
- 23
|
- Hembra
|
- 9
|
- 14
|
- 23
|
- Total
|
- 21
|
- 25
|
- 46
|
- p(Soci | H) p(Psic | H)
- p(Soci | V) p(Psic | V)
- p(H | Soci) p(H | Psic)
- p(V | Soci) p(V | Psic)
-
- Solución
- p(Soci | H) = 9/23
- p(Psic | H) = 14/23
- p(Soci | V) = 12/23
- p(Psic | V) = 11/23
- p(H | Soci) = 9/21
- p(H | Psic) = 14/25
- p(V | Soci) = 12/21
- p(V | Psic) = 11/25
-
- Problema 38
- De la tabla del problema
anterior, determine qué eventos son
independientes.
- p(Soci | H) = 9/23, y p(Soci) =
21/46
- p(Psic | H) = 14/23, y p(Psic) =
25/46
- p(Soci | V) = 12/23, y p(Soci) =
21/46
- p(Psic | V) = 11/23, y p(Psic) =
25/46
- p(H | Soci) = 9/21, y p(H) =
23/46
- p(H | Psic) = 14/25, y p(H) =
23/46
- p(V | Soci) = 12/21, y p(V) =
23/46
- p(V | Psic) = 11/25, y p(V) =
23/46.
- Es evidente que ninguno de los
eventos es independiente.
-
- Problema 39
- Determine si año académico es
independiente de concentración.
| |
|
-
|
- Año
|
-
|
|
|
-
|
- 1
|
- 2
|
- 3
|
- 4
|
- 5
|
- Total
|
- Sociología
|
- 6
|
- 8
|
- 9
|
- 7
|
- 6
|
- 36
|
- Ciencias Politicas
|
- 9
|
- 6
|
- 4
|
- 4
|
- 5
|
- 28
|
- Economia
|
- 3
|
- 5
|
- 6
|
- 8
|
- 3
|
- 25
|
- Antropología
|
- 7
|
- 8
|
- 9
|
- 6
|
- 9
|
- 39
|
- Psicología
|
- 9
|
- 9
|
- 9
|
- 6
|
- 8
|
- 41
|
- Sociales Generales
|
- 2
|
- 5
|
- 6
|
- 2
|
- 2
|
- 17
|
- Total
|
- 36
|
- 41
|
- 43
|
- 33
|
- 33
|
- 186
|
- Los eventos concentración y año
académico no son independientes. Se le
deja al estudiante que haga las
demostraciones correspondientes.
-
- Problema
- Determine las permutaciones y
combinaciones indicadas.
- I. A manera de práctica
determine las siguientes permutaciones:
- 6P6 5P3 7P4 8P1
- 7P6 38P6 10P3 0P0r
- Solución
- Se utiliza la siguiente
ecuación: nPr = n!/(n-r)!.
- 6P6 = 6!/0! = 6x5x4x3x2x1 = 720
- 5P3 = 5!/2! = 5x4x3x2x1 / 2x1 =
5x4x3 = 60
- 7P4 = 7!/3! = 7x6x5x4x3x2x1 /
3x2x1 = 7x6x5x4 = 840
- 8P1 = 8!/7! = 8x7x6x5x4x3x2x1 /
7x6x5x4x3x2x1 = 8
- 7P6 = 7!/1! = 7x6x5x4x3x2x1 / 1 =
7x6x5x4x3x2x1 = 5040
- 38P6 = 38!/32! =
38x37x36x35x34x33 = 1,987,690,320
- 10P3 = 10!/7! =
10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 / 7x6x5x4x3x2x1 =
720
- 0P0 = 0!/0! = 1
-
- II. A modo de práctica, detemine
las siguientes combinaciones:
- 6C6 6C3 6C4 8C4
- 38C6 10C3 9C3 5C3
-
- Solución
- Se utiliza la siguiente
ecuación: nCr = n!/r!(n-r)!.
- 6C6 = 6!/6!0! = 1
- 6C3 = 6!/3!3! = 6x5x4x3x2x1 /
3x2x1x3x2x1 = 6x5x4/3x2x1 = 20
- 6C4 = 6!/4!2! = 6x5x4x3x2x1 /
4x3x2x1x2x1 = 6x5/2x1 = 15
- 8C4 = 8!/4!4! = 8x7x6x5x4x3x2x1 /
4x3x2x1x4x3x2x1 = 8x7x6x5 / 4x3x2x1 =
7x6x5 / 3 = 210
- 38C6 = 38!/6!32! =
38x37x36x35x34x33 / 6x5x4x3x2x1 =
38x37x36x35x34x33 / 6x5x4x3x2x1 =
1,987,690,320 / 720 = 2,760,681
- 10C3 = 10!/3!7! =
10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 /3x2x1x7x6x5x4x3x2x1
= 10x9x8 /3x2x1x = 720/6 = 120
- 9C3 = 9!/3!6! = 9x8x7x6x5x4x3x2x1
/ 3x2x1x6x5x4x3x2x1 = 9x8x7 / 3x2x1 =
3x4x7 = 84
- 5C3 = 5!/3!2! = 5x4x3x2x1 /
3x2x1x2x1 = 10.
|
